調べたきっかけ

Rubyのマニュアルを読んでいたところ、例に書いている負数割り算の余について、
疑問が湧いてきましたので、少し調べてみました。

「算術演算子」処理の例でしたが、

13 % 4 => 剰余： 1
13 % -4 => 剰余：-3
-13 % 4 => 剰余： 3
-13 % -4 => 剰余：-1

※Integerの算術演算子「%」

剰余として、

• 13 / 4 は、 商は3で、余が1でOK
• 13 / -4 は、 商は-3で、余が1ではなく、-3なの？
• -13 / 4 は、 商は-3で、余が-1ではなく、3？？
• -13 / -4 は、 商は3で、余が-1でOK

と、想定していた余り値と、例に書いている値が異なっていて、
割り算ってどうしてたっけ・・・と、よくわからなくなりました。

そういえば、学生時代に習った数学では、
負数で、余の求めることはなかったような気がします。

たとえば、

• -13 ÷ 4 は、-13/4
• -13 ÷ -4 は、13/4

のように、計算（解答）して終わっていましたね。
そう・・・あんまり考えて計算していなかったんだ。それで、もう少し調べてみました！

負数の割り算を調べてみた

結論からいうと、
負数の割り算の計算法は複数存在しており、計算する対象や計算機の機種、
あるいは、プログラミング言語により、まちまちであると書いていました。
※詳しい説明は、色々数学用語が出てきていますので、リンクだけ張っておきます。
ご参考ください。

– wikipedia「除法」
– wikipedia「除法の原理」
– Division and Modulus for Computer Scientists

プログラムでの割り算では、丸め方法にも関わっていて、これも同じく、
プログラミング言語により異なっており、IEEE(浮動小数点数算術標準)丸め方法では、

• 最近接丸め（偶数） (round to the nearest)
• 0への丸め(rounding toward zero; RZ)
• 正の無限大への丸め(rounding toward minus infinity; RM)
• 負の無限大への丸め (rounding toward plus infinity; RP)

がありました。
※丸め方法の詳しい説明は、下記のリンクを参照してください。

– wikipedia「端数処理-コンピュータでの丸め」

RubyとMySQLの丸め

Rubyの場合は、「負の無限大への丸め」に丸められていました。

– Ruby2.4.0マニュアル「divmod」：The quotient is rounded toward -infinity…

MySQLは、結果からみると、
「0への丸め」で丸められた割り算が行っていることがわかります。

– MySQL 5.7 Reference Manual「DIV」：Discards from the division result any fractional part to the right of the decimal point
– MySQL 5.7 Reference Manual「TRUNCATE(X,D)」：All numbers are rounded toward zero

被除数	除数	結果	負の無限大への丸め(商…余)	0への丸め(商…余)
13	4	3.25	3…1	3…1
13	-4	-3.25	-4…-3	-3…1
-13	4	-3.25	-4…3	-3…-1
-13	-4	3.25	3…-1	3…-1

※この例での丸め

　a.「0への丸め」：0を基準で、小数点以下を０に近い数字に丸めます。
　　例では、-3.25 は-3、3.25は3に丸められます。
　b.「負の無限大への丸め」：小数点以下を負の方面に丸めます。
　　例では、-3.25 は-4、3.25は3に丸められます。

結論

• プログラミングの言語により、負数の割り算計算式が異なっています。
• 精密な計算を要する計算式を使う場合、きちんと結果を想定しておく必要があります。

※Ruby＋MySQLだと、Rubyでは「負の無限大への丸め 」、MySQLでは「0への丸め」
　の方式で計算しているため、プログラム側で計算する際と、DBで計算する際の値が
　異なる場合がありえます。

もっと安全にするためには、

• 負数の割り算を辞めるか、
• 各自、想定する計算処理を組んで使うほうがよいでしょう。